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RESEÑA HISTORICA
La definición de matrices aparece por primera vez en el año 18501, introducida por J.J Sylvester. Sin embargo hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y por lo tanto, empleaban tablas con números.
El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R Hamilton en 1853. En 185¡8 Arthur Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la misma que fue descrita en su publicación "memorias sobre la teoría de matrices".
En esta publicación, Cayley daba la definición de matriz y las operaciones de suma entre matrices, de la multiplicación de un número real por una matriz de la multiplicación entre matrices y de la inversa de una matriz.
Las matrices de utilizan en el cálculo numérico den la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que surgen de problemas redes de producción, en la resolución de las ecuaciones diferenciales y las derivadas parciales temas que se analizaran en cursos superiores de cálculo. 
La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación ya que la mayoría de datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, base de datos, entre otros.


Definición
Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escriton\times m ) donde n,m\in \mathbb{N}-\{0\}. El conjunto de las matrices de tamaño n\times m se representa como \mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}), donde \mathbb{K} es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.
A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila i-\,\!ésima y la columna j-\,\!ésima se le llama entrada i,j\,\! o entrada (i,j)\,\!-ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.
Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.4 Por ejemplo, al elemento de una matriz A de tamaño n\times m que se encuentra en la fila i-\,\!ésima y la columna j-\,\!ésima se le denota como a_{ij}\,\!, donde 1\leq i\leq n y 1\leq j\leq m.
Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un i\,\! o un j\,\! con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz A\,\! de tamaño50\times 100  se representa como a_{1,2}\,\! mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como a_{23,100}\,\!.
Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así \mathbf{A}  es una matriz, mientras que A\,\! es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.
Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. A:=(a_{ij})\,\! o incluso A:=a_{ij}\,\!.
Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño 1\times n mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño m\times 1.
A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, m=n\,\!, se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), alternativamente a la notación usual \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K}).
Ejemplo
Dada la matriz A\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix}
es una matriz de tamaño 4\times 3. La entrada a_{23}\,\! es 7.
La matriz R\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})
R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
es una matriz de tamaño 1\times 9: un vector fila con 9 entradas.

Clasificación de las Matrices

La matriz es un concepto principal, no sólo en el campo de las matemáticas, sino en el de las Computadoras también. Una matriz puede definirse simplemente como una ordenación rectangular de números reales o complejos. Cada número o entrada en una matriz es llamado un elemento de la matriz. Los elementos incluidos en la línea horizontal forman una fila de la matriz. Los elementos incluidos en la línea vertical forman una columna de la matriz. Una matriz es de diversos tipos y formas. Se pueden clasificar en:

1). Matriz columna 2). Matriz fila 3). Matriz cuadrada 4). Matriz diagonal 5). Matriz identidad o unidad 6). Matriz cero o nula 7). Matriz simétrica 8). Matriz asimétrica
Entremos en los detalles de cada una:

1). Matriz columna: Una matriz con n filas y 1 columna, se denomina matriz columna. Esta matriz es de tipo m x 1.
Por ejemplo: 

2). Matriz fila: Una matriz que tiene una fila y n columnas, se dice que es una matriz fila. Esta matriz es del tipo 1 x n.
Por ejemplo: 

3). Matriz Cuadrada: Una matriz en la cual el número de columnas es igual al número de filas, se conoce como una matriz cuadrada. Una matriz de orden n es aquella que tiene n filas y n columnas. La propiedad aceptada en la matriz cuadrada es que dos o más matrices cuadradas de orden idéntico, pueden multiplicarse, sumarse y restarse.


Por ejemplo: 

4). Matriz diagonal: En una matriz cuadrada, los elementos para los cuales i = j, se denominan elementos diagonales. Una matriz cuadrada donde cada elemento, excepto los elementos diagonales, son iguales a cero, es llamada matriz diagonal. La matriz diagonal se denomina a veces matriz diagonal rectangular.
Por ejemplo: 

5). Matriz identidad o unidad: Se dice que una matriz es la matriz identidad o unidad, si cada elemento de la diagonal principal de la matriz particular es 1. La matriz identidad generalmente es denotada por ‘I’. Este tipo de matriz tiene la siguiente propiedad:
AI = A y IA = A
Por ejemplo: 

6). Matriz cero o nula: Se trata de una matriz en la cual cada elemento es igual a 0. Se representa como ‘0’. Si ‘O’ es la matriz cero m × n y A es cualquier matriz m × n, entonces A + O = O A. En consecuencia O es la identidad aditiva de la suma de matrices.
Por ejemplo: 

7). Matriz simétrica: Una matriz simétrica se refiere a la matriz cuadrada cuyo valor es igual al transpuesto de la matriz. Es decir, .La simetría de la diagonal simétrica está relacionada con la diagonal principal. Por otra parte, toda matriz diagonal es simétrica.
Por ejemplo: 

8). Matriz asimétrica: La matriz asimétrica también es conocida como matriz antimétrica o antisimétrica. Se trata de una matriz cuyo valor de transposición es negativo de su valor. Es decir,
A = -AT.
Estos ocho tipos son la base de la clasificación de las matrices. Estos pueden utilizarse para generar una clasificación más precisa. Sin embargo, el concepto básico y el método de operación en las matrices son idénticos en todas las clasificaciones.
Propiedades entre matrices
Sean A,B,C\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}), donde \mathbb{K} es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria. 

Asociatividad

(A+B)+C=A+(B+C)\,\!

 Conmutatividad

(A+B)=(B+A)\,\!

Existencia del elemento neutro aditivo

Existe 0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que


A+0=0+A=A\,\!

Existencia del inverso aditivo
Existe D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que

A+D=0\,\!
a esta matriz D\,\! se le denota por -A\,\!

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades

  • Interna:
  • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
  • Elemento neutro: A + 0 = A
  • Elemento opuesto:A + (−A) = O
  • Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz A=(aij) y un número real kperteneceR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)

Propiedades

  • a ·  (b · A) = (a · b) · A      Apertenece Mmxn, a, b perteneceERRE
  • a  ·  (A+B) = a · A + a · B   A,B pertenece Mmxn , a pertenece ERRE
  • (a+b) · A = a · A+b · A       A pertenece Mmxn , a, b pertenece ERRE
  • 1 · A = A                     A pertenece Mmxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

DETERMINANTES
En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
DETERMINATE DE UNA MATRIZ
A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.
El determinante de A se denota por |A| o por det (A).

A =determinante


Determinante de orden uno

  |a 11| = a 11
  |5| = 5

Determinante de orden dos

determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21




Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
 =
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -
- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

determinante de orden 3 =
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

MÉTODO PARA ENCONTRAR EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ



MATRICES

domingo, 23 de agosto de 2015
Posted by Unknown
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