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// On :miércoles, 5 de agosto de 2015
Reseña Historica de la Trigonometría
El origen de la palabra TRIGONOMETRÌA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metros" (metria).Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Ángulos y sus Medidas
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1 Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2 Radián (rad):
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Sistema de Medición Angular
- Sistema Internacional:1 Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.
- Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos (")
- Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal (g)
CONVERSIONES DE SISTEMAS DE MEDIDAS
Las dos relaciones siguientes permiten calcular en grados la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes de cualquier ángulo medido en grados:
360 grados = 2 π radianes
180 grados = π radianes
Para transformar de grados a radianes se multiplican los grados por π radianes y luego se divide por 180°.
Ejemplo: Transformar 45 grados a π radianes.
Solución: 45° x π radianes = π radianes
180° 4
Para transformar radianes a grados se multiplican los π radianes por 180° y luego se divide por π radianes.
Ejemplo: Transformar 5 π radianes a grados sexagesimales.
3
Solución: 5 π radianes x 180° = 300°
3 π radianes
CIRCULO TRIGONOMÉTRICO
Es un círculo unitario que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio mide la unidad. Es una herramienta que se utiliza en conceptos de trigonometría y además nos ayuda a fundamentar las funciones trigonométricas.
Con el círculo trigonométrico podemos obtener el valor de las razones trigonométricas para cierto ángulo, además también se puede utilizar para obtener las identidades pitagóricas.
Para obtener las funciones trigonométricas se toma como base un círculo de radio 1 con centro en el origen, se toma un ángulo medido a partir del eje x positivo y en sentido contrario de las manecillas del reloj.
Razones trigonométricas
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
Triangulo de Posición Normal
Un ángulo en posición normal es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje de abscisas positivas (OA) y su vértice con el origen de coordenadas rectangulares (O); mientras que su lado final puede encontrarse en cualquier parte del plano.
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Los signos de las funciones trigonométricas varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren, aquí te mostraré que signo tiene cada una en cada cuadrante.
sen α = c.opuesto/hipotenusa
cos α = c.adyacente/hipotenusa
tang α = c.opuesto/ c.adyacente
Primer cuadrante
En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.
Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.
Segundo cuadrante
En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.
Tercer cuadrante
En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.
Cuarto cuadrante
En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto solo el coseno y la secante serán positivas.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Definición de identidades trigonométricas
Son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Identidades Trigonométricas principales
Identidades Pares o Impares
sen(-x) = - sen(x)
cos(-x) = cos (x)
tan(-x) = - tan (x)
cot(-x) =- cot (x)
sec (-x) = sec (x)
csc (-x) = - csc (x)
Identidades trigonométricas Auxiliares
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena=
=cos2a-sen2a |
sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a
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Identidades trigonométricas de angulo doble
Transformaciones de sumas y diferencias de productos
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