junio 2015

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NÚMEROS REALES

Los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.²En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

RESEÑA HISTÓRICA

Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

NÚMEROS REALES DE UN CAMPO

El campo de los números Reales es el conjunto de todos los números que no son imaginarios, ese decir, todos los números racionales e irracionales, positivos y negativos, incluso el cero, e incluye también los números con infinitas cifras decimales, como el número e, el número PI, la raíz de 2, etc.

Los imaginarios, cuya unidad es la raíz de menos 1, no están obviamente incluido.

El conjunto más grande es el de los números complejos, que incluye reales e imaginarios.

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Razones y proporciones

Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se lee a esa b.

Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 : 15 o

. Si simplificamos la fracción obtenemos: Cuatro partido por cinco

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Doce partido por quince igual a cuatro partido por cinco

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12• 5 = 4• 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: a es a b como c es a d entonces a por d es igual a b por c

Proporcionalidad directa

Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

Ejemplo:

Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

dieciseis kilómetros partido por un litro es igual a ciento noventa y dos kilómetros partido por x litros

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,

16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)

Proporcionalidad inversa

Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Tres por cinco es igual a cuatro por x entonces x es igual a quince partido por cuatro que es igual a tres coma setenta y cinco días

entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)

Proporcionalidad compuesta

La proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.
Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qué proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitirá determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.

Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?
a) En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables.
Sean: obreros (O) – longitud del camino (L):

Estas dos variables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más km de camino se pavimentarán, por lo tanto:

= contante

b) Por otra parte, las variables obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino.
Por lo tanto, O• T = constante.
De lo anterior se deduce que:

= contante

Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

o por t partido por l es igual a veinte por cinco partido por dos que es igual a x por diez partido por cinco

Multiplicando cruzado en esta proporción y despejando x obtenemos:

x = 25 obreros

Entonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 días.

Porcentaje

El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.
Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

doce partido por cien por seiscientos igual setenta y dos

El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa:

Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida. Por ejemplo:
El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de descuento se le aplicó?
En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $15.000 – $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto:

Veamos ahora otro ejemplo:

¿Qué % es 0,2 de 4?

En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción:

LOS INTERVALOS

Intervalo procede del latín intervallum y menciona la distancia o el espacio que hay de un lugar a otro o de un tiempo a otro. Por ejemplo: “Entre ambas reuniones, tengo un intervalo de dos horas que puedo aprovechar para ir a visitar al tío Ramón”, “Voy a ver la agenda del doctor a ver si tiene algún intervalo para atenderte”, “En esta ruta hay una estación de servicio en un intervalo de cada cincuenta kilómetros”, “Los animales suelen aparecer en intervalos de pocos metros”.

DEFINICION DE INTERVALOS

Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa) es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real $\R$ , es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

CLASIFICACION DE LOS INTERVALOS

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a, b] \,$	$a \le x \le b$	$b-a \,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \!$	$a \le x < b\!$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
$]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \!$	$a < x \le b$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
$]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \!$	$a<x<b \!$	$b-a \,$	Intervalo abierto.
$]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \!$	$x < b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \!$	$x \le b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \!$	$x \ge a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \!$	$x > a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \!$	$x \in \mathbb{R} \!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{ a \} \!$	$x=a \!$	$0 \!$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$\{\} = \emptyset\!$	sin elemento	cero	Conjunto vacíoIntervalo abierto (a,a).

OPERACIONES CON INTERVALOS

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.

Debido a su gran utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.nota 1 Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.nota 2 [cita requerida] Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

DEFINION DE ECUACIONES

Según los expertos en Matemática, una ecuación (concepto derivado del latín aequatio) constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebráicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

CLASIFICACION DE ECUACIONES

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable).

Pero veamos que significa Grado, en álgebra.

El grado de un monomio o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes de las variables (referido a los números que indican la potencia de la variable; dicho en simple, al numerito chico arriba de las letras).

Entonces, el grado puede referirse a un monomio o a un polinomio, y para cada uno puede ser absoluto o relativo.

Grado absoluto de un monomio

El grado absoluto o de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras o variables.

El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6

Grado absoluto de un polinomio

El grado absoluto de un polinomio está dado por aquel del término con más alto valor absoluto de todos los que componen la expresión o polinomio

El grado absoluto de 6x³y⁴z² + x⁵y² es: 3 + 4 + 2 = 9 (que es el valor absoluto del término 6x³y⁴z²) .

Nota:

Cuando una variable (una letra) no posee exponente, se entiende que es 1, que no se escribe pero que se considera para la suma de exponentes de un término.

Así:

El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6 (el exponente de z es 1)

Grado relativo

El grado relativo de un monomio se refiere al valor que arroje la suma de los exponentes de variables iguales:

Así, en el término 5x³y²z⁵

El grado relativo a x es 3

El grado relativo a y es 2

El grado relativo a z es 5

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación lo marca el monomio (o término) de mayor grado absoluto.

5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado (cada término posee solo una incógnita y su exponente es uno).

5x + 3 = 2x² + x Ecuación de segundo grado.

5xy + 3 = 2xy + x Ecuación de segundo grado. (El grado del monomio 5xy es 2)

5x³ + 3 = 2x +x² Ecuación de tercer grado.

5x²y + 3 = 2x + x²y Ecuación de tercer grado (El grado del monomio 5x²y es 3)

5x³ + 3 = 2x⁴ +1 Ecuación de cuarto grado.

Resumiremos lo anterior en el siguiente cuadro:

ECUACIÓN	INCÓGNITA	EXPONENTE	GRADO
8x + 38 = 29	x	1	1°
4y ² + 12 = 6y	y	2	2°
4xy +12 = 6xy	xy	1 + 1 = 2	2º
z ³ - 8z ² + z = 7	z	3	3°
z²y - 12 + z = 7zy	zy	2 + 1 = 3	3º
x ⁴ - 17x ² + 16 = 0	x	4	4°

PROCESO DE SOLUCION DE ECUACIONES

Escribe la solución de la ecuación siguiente:

4x + 2 = 10

En este caso se debe hallar el valor de la variable x y luego comprobar si el valor obtenido satisface la ecuación.

PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

1.- Agrupar en un miembro los términos con variables y en el otro los términos que no tienen variables.

(Al pasar un término de un miembro a otro se pasa realizando la operación inversa)

2.- Resolver las operaciones que se indiquen en los miembros de manera independiente.

(Las operaciones se resuelven respetando el orden operacional)

3.- Despejar la variable y resolver las operaciones indicada.

INECUACIONES

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo

se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

DEFINICIÓN

En estas expresiones se utilizan signos como ≤, >, ≥. Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones.

La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta.

CLASIFICACIÓN

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo:

x<0

- De dos incógnitas. Ejemplo: $x<y$ .
- De tres incógnitas. Ejemplo: $x<y+z$ .
- etc.

Según la potencia de la incógnita,
- De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: $x+1<0$ .
- De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: $x^2+1<0$ .
- De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: $x^3+y^2<0$ .
- etc.

PROCESO DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES

El proceso de resolución de inecuaciones que veremos después se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla.

Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

ü Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta la misma cantidad, se obtiene una inecuación equivalente.

ü Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad, se obtiene una inecuación equivalente con el mismo sentido de la desigualdad, si esa cantidad es positiva, y con el sentido contrario si esa cantidad es negativa.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

DEFINCION DE VALOR ABSOLUTO

La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.

PROPIEDAD ABSOLUTO

Propiedades fundamentales

$\|a\| \ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 \iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|\,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|\,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 \iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| \le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| \ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\left\| \frac {a}{b}\right\| = \frac {\|a\|}{\|b\|} (si \ b \ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)